單調(diào)控制系統(tǒng)的簡化定理與多重穩(wěn)定性
朱廣慶，何希勤
（遼寧科技大學理學院，遼寧鞍山 114051）
摘 要：多重穩(wěn)定性是許多分子生物模型重要的動力學行為，它在分析細胞分裂和生長現(xiàn)象中起到關(guān)鍵性的作用。為了了解細胞內(nèi)的復雜的調(diào)節(jié)網(wǎng)絡的動力學行為，將其數(shù)學模型進行單調(diào)分解為若干個單調(diào)控制系統(tǒng)的互聯(lián)。對具有惟一定義的穩(wěn)定狀態(tài)響應的單調(diào)控制系統(tǒng)，引入了具有保持局部穩(wěn)定性質(zhì)的簡化系統(tǒng)，根據(jù)簡化系統(tǒng)的平衡點與原來單調(diào)控制系統(tǒng)的平衡點之間存在的一一對應的映射關(guān)系，可推知單調(diào)控制系統(tǒng)的平衡點的位置及其穩(wěn)定性，進而通過確定單調(diào)控制系統(tǒng)的平衡點的位置及平衡點的穩(wěn)定性，來確定整個互聯(lián)單調(diào)控制系統(tǒng)的平衡點的位置及平衡點的穩(wěn)定性。由于簡化系統(tǒng)降低了原來生物系統(tǒng)模型的雛數(shù)，這為分析復雜生物系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了一種可行的途徑。
關(guān)鍵詞：多重穩(wěn)定性；單調(diào)控制系統(tǒng)；簡化系統(tǒng)；平衡點
中圖分類號：tp 27 文獻標識碼：a
l引言
在基因后組時代，生物學家和數(shù)學家面臨的****的挑戰(zhàn)就是通過對復雜的細胞內(nèi)的調(diào)節(jié)網(wǎng)絡的研究來了解細胞的具體行為。在細胞內(nèi)，是由蛋白質(zhì)、dna，rna、代謝產(chǎn)物和其他物質(zhì)組成的調(diào)節(jié)網(wǎng)絡來處理外部的環(huán)境信號、控制內(nèi)部事件（如基因表達）以及產(chǎn)生適當?shù)募毎憫Ｓ绕渲С侄嘀胤�(wěn)定性和周期性行為的調(diào)節(jié)網(wǎng)絡近年來越來越受到人們的關(guān)注：多重穩(wěn)定性是許多分子生物模型重要的動力學行為，在分析細胞分裂和生長現(xiàn)象中起到關(guān)鍵性的作用。多重穩(wěn)定性及相關(guān)的滯后和振蕩現(xiàn)象是分子系統(tǒng)生物研究的重點。
在應用單調(diào)控制系統(tǒng)理淪時所面臨的****的困難就是決定穩(wěn)定狀態(tài)的位置和數(shù)量。文獻[3]把復雜的系統(tǒng)分解成由帶有單輸入單輸出的單調(diào)系統(tǒng)通過單位反饋連接成具有惟一定義的i/o特性和滿足單調(diào)性條件的閉環(huán)系統(tǒng)，然后根據(jù)簡化定理把單調(diào)分解后的閉環(huán)系統(tǒng)簡化為一維離散迭代方程。然而文獻[3]，考慮的i/o特性及i/s特性都是單值函數(shù)，本文通過把文獻[3]中的結(jié)論推廣到i/s及l(fā)／o特性是多值函數(shù)的情況，介紹能保持原單調(diào)系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性質(zhì)的簡化系統(tǒng)及通過分柝簡化系統(tǒng)的穩(wěn)定性來推斷原單調(diào)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
2預備知識
單調(diào)動力系統(tǒng)通常是定義在有序巴拿赫空間上的，這里所討論的有序巴拿赫空間是一個實空間b，且具有一個奇異的非空閉子集。在這篇文章里，所討論的k是定義在歐式空間上的，且是一個非空閉凸集。它具有以下幾種性質(zhì)：
由上述正錐k的定義，引入序的概念。
定義1（偏序關(guān)系）若x1≥x2，當且僅當x1-x2∈k則稱≥為定義在k上的偏序關(guān)系。
考慮具有輸入輸出的非線性控制系統(tǒng)：
式中，x∈x，u ∈u，y∈y，且x是rn上的一個開子集的閉包且賦予了由kx∈r所誘導的序；輸出集y和輸入集u也分別是其自己內(nèi)部的閉包且賦予了由錐ky∈r和ku∈rp所誘導的序。
在不引起混淆和從文中司以知其意的情況下，可以統(tǒng)一用k來代替kx，ky，ku。同時，假設：
f：x×u—y rn在xxu上是連續(xù)可微的且f在x上滿足局部利普希茨條件和在u 上是一致連續(xù)的，函數(shù)h：x一y在x上也是連續(xù)的。
下面給出單調(diào)控制系統(tǒng)的定義。
定義2（單調(diào)控制系統(tǒng)） 若系統(tǒng)(1)滿足下面給出的條件：
則稱系統(tǒng)(1)是單調(diào)控制泵統(tǒng)。
x(i，εi，ui)是微分方程x(t)=f(x(t)，u(t))且滿足初始條件x(0)=ε的解。由單調(diào)控制系統(tǒng)的定義，還可進一步給出強單調(diào)控制系統(tǒng)的定義。
定義3（強單凋控制系統(tǒng)） 若系統(tǒng)(1)滿足下面給出的條件：
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