提高三維邊界元法實(shí)用化的有效措施
鄭 鎂 尹建華 楊喜樂(lè) (西安交通大學(xué)710049)
摘 要 采取了四個(gè)有效措施以促進(jìn)邊界元法的實(shí)用化，它們是，提供了一個(gè)適應(yīng)性很強(qiáng)的三維前處理系統(tǒng)；將可視化技術(shù)嵌入到分析和優(yōu)化的軟件系統(tǒng)中；采用半解析函數(shù)大幅度地降低了數(shù)值分析問(wèn)題中的未知數(shù)；提供了一個(gè)解高階非對(duì)稱滿陣方程組的新解法。
敘 詞 邊界元法可視化半解析函數(shù)滿陣方程組
1 引 言
電磁場(chǎng)數(shù)值分析只有幾十年的歷史，由于它的出現(xiàn)使得高壓大容量電工設(shè)備的分析從定性走向了定量，因而節(jié)省了大量原材料，加之結(jié)合優(yōu)化手段提高了設(shè)計(jì)水平，所以大大增強(qiáng)了電工產(chǎn)品在國(guó)際市場(chǎng)上的競(jìng)爭(zhēng)力。目前，電磁場(chǎng)數(shù)值分析中使用的離散化方法很多，但基本上可以歸成兩大類：有限元法和邊界元法，另外還有一些方法，可以認(rèn)為是它們的變種或者是該兩種方法的結(jié)合。其中有限元法相對(duì)于邊界元法，研究得比較成熟，使用得也比較多，國(guó)內(nèi)外已有許多很有特色的軟件包。而邊界元法提出較晚，但因它具有獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，所以一經(jīng)提出，立刻獲得了科技工作者的廣泛關(guān)注。但成熟的邊界元法軟件包尚不多見(jiàn)，主要原因有，缺乏適應(yīng)性很強(qiáng)的前處理系統(tǒng)軟件包；可視化技術(shù)應(yīng)用不夠廣泛，例如80年代后期起的踉蹤處理技術(shù)尚未得到應(yīng)用；剖分單元一般限于三角元或四邊形單元，因此產(chǎn)生的未知數(shù)很多，計(jì)算時(shí)需要大量的內(nèi)存和CPU時(shí)間；由于邊界元法中的系數(shù)陣是滿陣，還缺乏解滿陣的有效方法。本文針對(duì)這些問(wèn)題，介紹采用一些有效措施后獲得的滿意結(jié)果。
2前處理系統(tǒng)
前處理系統(tǒng)提供計(jì)算程序中所需要的大量剖分?jǐn)?shù)據(jù)，因此是軟件包的重要組成部分。一個(gè)好的前處理系統(tǒng)應(yīng)具有適應(yīng)性強(qiáng)、易維護(hù)、易擴(kuò)充的特點(diǎn)，否則難以推廣。研制的前處理系統(tǒng)適應(yīng)面很寬，它包括與拉格朗日插值函數(shù)對(duì)應(yīng)的多邊形單元和與環(huán)帶狀半解析函數(shù)對(duì)應(yīng)的環(huán)帶狀單元，前者適用于任意形狀的剖分，后者能解決具有軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)件的剖分。以前作者曾為多邊形單元單獨(dú)研制過(guò)一個(gè)“積木式”的前處理系統(tǒng)[1]，效果很好。鑒于在高壓大容量電工設(shè)備中，具有軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的部件數(shù)量很多，因此已將該系統(tǒng)擴(kuò)充為由兩種類型單元組成的“積木式”前處理系統(tǒng)。由于當(dāng)兩種單元相接時(shí)，既要考慮消去重復(fù)節(jié)點(diǎn)，又要顧及被消去節(jié)點(diǎn)上的等效源作用，因此通過(guò)采取了一些特殊措施后，才解決了兩個(gè)看來(lái)互相矛盾的問(wèn)題。
3可視化技術(shù)的應(yīng)用
可視化技術(shù)在軟件包中主要起著三個(gè)方面的作用，前處理、跟蹤處理和后處理。在前處理中[2]，可視化技術(shù)可幫助和指導(dǎo)用戶準(zhǔn)備初始數(shù)據(jù)，并在自動(dòng)剖分程序的支持下，可逐一進(jìn)行各組件及整體的顯示。通過(guò)圖形，用戶能及時(shí)發(fā)現(xiàn)各組件的初始數(shù)據(jù)或各組件間的相互位置是否正確，一旦發(fā)現(xiàn)有誤，可馬上進(jìn)行修改，直到滿意為止。在分析離子源引出系統(tǒng)的自治解及優(yōu)化過(guò)程中，將可視化技術(shù)嵌入優(yōu)化分析系統(tǒng)，進(jìn)行了跟蹤處理，以便能及時(shí)了解進(jìn)程中發(fā)生的問(wèn)題，特別在調(diào)試階段發(fā)揮了很大的作用，節(jié)省了大量時(shí)間，使之在較短的時(shí)間內(nèi)完成了調(diào)試。后處理的可視化是在系統(tǒng)中構(gòu)造了一個(gè)屏幕編輯系統(tǒng)，它將計(jì)算機(jī)屏幕分成圖形顯示區(qū)、菜單區(qū)和對(duì)話區(qū)三部分，不僅可以看到條數(shù)可控的彩色等位線，用顏色填塊顯示的等位線，也可看到場(chǎng)強(qiáng)的分布圖及場(chǎng)強(qiáng)大的區(qū)域顯示，這些圖形都可根據(jù)需要進(jìn)行縮放。
4半解析插值函數(shù)
該方法適用于具有軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)件的三維場(chǎng)分析，它的基本單元稱為環(huán)帶狀單元，如圖1所示。
設(shè)環(huán)帶狀單元表面的等效源，則沿tl-t2段的艿可表示成：
式中 和分別為點(diǎn)tl和t2的等效源，而Ni和Nz分別為節(jié)點(diǎn)tl和t2的形狀函數(shù)，在局部坐標(biāo)系中的表達(dá)式為：
再將式(1)中的，和 沿圓周方向用Fourier級(jí)數(shù)展開，有：
環(huán)帶狀單元j產(chǎn)生在場(chǎng)點(diǎn)i的電位為：
式(3)中沿圓周方向的積分可以由半整數(shù)次的勒讓德函數(shù)Qk-{(Y)表示，即有：
可變換到局部坐標(biāo)系中， 沿軸向方向積分ef(t)dt 因此式(3)可以寫成：
式中令Po1和p02為零，將上式中的積分項(xiàng)進(jìn)行一維高斯積分，且沿圓周方向任意選取2m+l個(gè)匹配點(diǎn)，即能求出電荷密度展開式中的各次諧波系數(shù)。
由于表達(dá)式中沿圓周方向可用特種函數(shù)表達(dá)，所以它是半解析函數(shù)，其中未知數(shù)是Fourier級(jí)數(shù)中的各項(xiàng)系數(shù)，大量計(jì)算表明，該級(jí)數(shù)收斂很快。一般m取3～8即可。如果用三角元或四邊形單元剖分，則未知數(shù)肯定比這種單元多，當(dāng)軸對(duì)禰件的半徑愈大，則二者的差距就愈大。因此用半解析插值函數(shù)（即用環(huán)帶狀單元剖分）計(jì)算，可大幅度降低未知數(shù)的數(shù)目，這對(duì)求解方程組是十分有利的。若實(shí)際單元之間不是直線而是一條曲線，則可用B樣條基予以展開，這樣組件的剖分?jǐn)?shù)可進(jìn)一步減少，從而達(dá)到了既減少未知數(shù)又提高計(jì)算精度的效果，并且適應(yīng)能力也增強(qiáng)了。
5 高階滿陣非對(duì)稱線性方程組的新解法
至今為止，數(shù)學(xué)中的計(jì)算方法對(duì)解滿陣非對(duì)稱線性方程組缺乏有效的算法，所以它一直是邊界元法向工程界推廣應(yīng)用的一個(gè)瓶頸。本文通過(guò)改進(jìn)基于行主元的高斯約當(dāng)消去法而探討了一種新解法，獲得了滿意的效果。
5.1新解法
設(shè)有以階的滿陣線性方程組為：
經(jīng)過(guò)第k-l次消去過(guò)程后可得：
上式中的上標(biāo)(k-l)表示已完成了第k-l次消去過(guò)程后得到的元素這樣直到k-n時(shí)，便可以得到方程式消去過(guò)程如下
需要指出，高斯一約當(dāng)消去法是建立在高斯消去法的基礎(chǔ)上，但不需要象高斯列主元消去法那樣有一個(gè)回代過(guò)程。因此必須將這些非零元素存儲(chǔ)起來(lái)。根據(jù)上述系數(shù)陣消元的特點(diǎn)，并且為了有效地利用計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)空間及節(jié)省時(shí)間。
5.2存儲(chǔ)方法及其實(shí)施
有限元方程中的系數(shù)陣是一個(gè)帶狀陣，它的帶寬遠(yuǎn)少于方程組的階數(shù)，用波陣法求解時(shí)可以節(jié)省大量的內(nèi)存。波陣法實(shí)質(zhì)上是高斯一約當(dāng)消去法的一種應(yīng)用，所以用本文的新方法求解滿陣方程時(shí)也可節(jié)省大量的內(nèi)存。但在元素的存儲(chǔ)上應(yīng)考慮到滿陣的特點(diǎn)，開辟一個(gè)二維數(shù)組來(lái)存儲(chǔ)系數(shù)陣[A]中在消去過(guò)程中的非零元素。
(1)對(duì)于是≤號(hào)時(shí)，經(jīng)第忌步消去過(guò)程后得到的
(2)存放在如下列所示的元素中：；
這樣，只需要在十號(hào)個(gè)單元的內(nèi)存空間就可存儲(chǔ)本來(lái)需要nz個(gè)內(nèi)存單元才能存儲(chǔ)的信息。
5.3實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證
計(jì)算結(jié)果表明，這種新的解法所需的計(jì)算機(jī)內(nèi)存資源是高斯列主元消去法的1/4，而在誤差相當(dāng)?shù)臈l件下，計(jì)算時(shí)間又較高斯列主元消去法減小了很多，約可節(jié)省百分之40左右，它隨方程組階數(shù)的不同而有所不同（參見(jiàn)表1）。以往許多計(jì)算方法的改進(jìn)，經(jīng)常是節(jié)省了內(nèi)存但增加了CPU時(shí)間，或者后者減少了而前者又增加了，但本文的新解法卻獲得了這兩方面的優(yōu)點(diǎn)。目前在有4兆內(nèi)存的微機(jī)上已能計(jì)算1800×1800階的滿陣線性方程組，從所用的時(shí)間及需要的計(jì)算機(jī)內(nèi)存來(lái)看，如此高階數(shù)的線性方程組，過(guò)去只能在微機(jī)上實(shí)現(xiàn)，并且使多邊形單元邊界元程序的計(jì)算速度提高了4～5倍，而計(jì)算機(jī)能解的滿陣線性方程組的未知數(shù)的數(shù)目又可增加一倍左右。因此，新解法在將邊界元法推向?qū)嵱没^(guò)程中起到了十分重要的作用，而且由于解法的通用性，可以在各個(gè)領(lǐng)域中推廣。
(1)C指本文提供的新解法，D指高斯消去法。
(2)算例中的系數(shù)陣A及右端項(xiàng)B的元素如下：
(3)表1說(shuō)明，用高斯消去法解900×900階的矩陣（使用1386DX機(jī)，4兆內(nèi)存），誤差已不能滿足要求。
6結(jié)論
(1)由多邊形剖分單元和環(huán)帶狀剖分單元組成的前處理系統(tǒng)具有很強(qiáng)的適應(yīng)能力，它既適應(yīng)于三維電場(chǎng)、磁場(chǎng)，也適應(yīng)于離子源光學(xué)系統(tǒng)的剖分等。
(2)將可視化系統(tǒng)嵌入到分析和優(yōu)化系統(tǒng)中，可以發(fā)揮多方面的作用，如能提商糾錯(cuò)和控制能力，特別能提高系統(tǒng)的調(diào)試速度。
(3)引用半解析插值函數(shù)，可以大幅度地降低剖分未知數(shù)。本文所介紹的環(huán)帶狀單元對(duì)求解具有軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的三維電場(chǎng)或磁場(chǎng)都有很高的效率。
(4)本文提供的求解滿陣非對(duì)稱線性方程組的新解法，是一種省時(shí)省力省資源的有效方法。
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