基于能量等效的行波型超聲波電動機分析模型
陳祥華
(浙江工業大學，浙江杭州3l00114)
摘要：利用能量等效原則把環形壓電復合定子等效成等直粱結構，綜合考慮壓電復合定子的機械損耗(包括壓電陶瓷和金屬基體的損耗)、轉動慣量和剪切變形，利用鐵術辛柯粱振動理論得到了壓電復合定子在自由狀態下的頻率方程和受迫狀態下的振動解析解；利用庫侖摩擦接觸理論建立了定、轉子之間的力傳遞模型，探討了接觸角與定、轉子預壓力、振動幅值、摩攘材料彈勝剛度之間的關系，給出r電機穩態時的輸出力矩表達式，并分析了電機能量損耗的組成，通過把定、轉子接觸面的摩擦損耗和轉子的輸出功率等效為定子振動的彎曲阻尼損失，建立了電機的輸出效率表達式，從而系統地建立了基于能量等效的行波型超聲波電動機特勝的解析模型。
關鍵詞：行波型超聲波電動機；能量等效；數學模型
中圖分類號：TM38 文獻標識碼：A 文章編號：1004—7018(2008)04—0018一04
O引 言
超聲波電動機與電磁型電機比較，具有低速大力矩、響應快、保持力矩大和結構簡單(不需要鐵心和繞組)等優點。其中，行波型環狀超聲波電動機的應用****，它是由定子和轉子組成，定子由壓電晶體的逆壓電效應作用產生強迫振動而形成行波，行波又通過定轉子接觸面的摩擦力使轉子運動。由于該電機利用的是定子高頻振動，因此要提高效率和可靠性，并建立相應的設計理論，就必須知道電機定子的振動特性以及電機輸出的機械特性。目前常用的分析方法是FEM(有限元分析)[1-3]。而這些研究結果表明定轉子是相互耦合的，目前的眾多方法只能計算單獨定子(不計轉子和負載影響)的動特性，難以預估電機的特性和定轉子參數對電機特性的影響，更不能從電機性能指標要求來確定電機定轉子參數，從而導致目前超聲波電動機的設計主要是通過經驗法，尚缺乏一個有效計及定轉子耦合的數學模型，使之適合的分析和求解。為此，本文研究了基于能量等效的行波型超聲波電動機穩態特性的分析計算解析模型。
1壓電復合定子環的等效分析模型
1.1壓電復合定子環的等效分析參數
行波型超聲波電動機的定子主要是由壓電陶瓷和帶有齒的環狀金屬彈性體構成，其結構如圖l所示。定子表面開齒，其作用是在不影響定子復合梁彎曲剛度和固有頻率的情況下，增大定子振動幅值，提高轉子轉速。
由于定子環是工作在一個已知的超過20 kHz高階模態上，定子環阻抗在此點最小，相應的振動能量****，此時，曲率效應對該階模態頻率的影響很小，因此可將圖1中的復合定子環展成一根等直梁考慮。而由于支撐部分的厚度相對于電機定子彈性體厚度小得多，且其為彎曲剛度(周向)較小的薄弱環節，支撐部分位于整個定子的中性面上，此時應變為零，因此可認為其對電機特性的約束影響較小[4]�？紤]到槽深hf比梁的厚度he相比較小，且槽寬bs遠小于定子工作時的波長λ，因此，利用能量等效原則把具有齒槽的梁視作無齒槽的等直梁。即鐵木辛柯(Tmoshenko)梁。等效原則是按等效前后的動能和勢能分別相等原則，且等效前后梁的高度不變，取梁的對稱面上中間軸為x軸，則可得等效密度peq等效楊氏模量Eeq、等效剪切模量Geq為：
性梁厚度之比，ks為所有槽寬之和與定子環節圓周長L之比，pe為彈性梁的材料密度，be為彈性梁的寬度，ht和he分別為彈性梁的齒高和梁厚度，Ee和Ge分別為定子金屬的楊氏模量和剪切模量。
因定子環背面貼有厚度hp和寬度bp的壓電陶瓷，所以定子環是一個復合梁。由梁彎益振動理論可確定復合梁的上表面至中性層的距離D：
則復合壓電等直粱的楊氏模量E、截面慣性矩l、平均密度p和剪切模量G為[5]：
1．2壓電復合定子環的振動頻率方程
彈性體定子環是在高階諧振頻率下工作，所以應計及剪切變形和轉動慣量的影響，令  則由梁的振動理論可知，其諧振頻率為： 式中：K為取決于截面形狀的因子，矩形截面時取0．85。將上式用兩項展開，得到：
 要說明的是，式(4)并沒有考慮預壓力的影響。由于摩擦層動態變形量比靜態變形量小得多，因此可以認為預壓力 F=k~u(x,t)，則考慮預壓力的影響： 由上式可知，電機諧振頻率隨預壓力的增加而增大。
1．3壓電復合定子環的受迫振動解析式
由于定子振動波形是由兩組壓電片激振的駐波疊加而成的行波，并且假設條件可知定子環系統是線性的，因此，在分析時只須考慮一組壓電片激振產生的駐波振動：另外，當復合梁作橫向彎曲振動(駐波)時，每兩片壓電片交接的非極化區所在中性層處的位移和彎矩都為零，  因此可把每一個壓電片對應的復合梁作為簡支梁來處理。在壓電片z方向施加電壓V(x，t)=Vmsinωt，x∈(O，l)，根據壓電陶瓷的逆壓電效應[6]，則壓電片在x軸方向產生的應變為：
式中：d31為壓電應變常數：應變產生的彎曲力矩為一對大小相等、方向相反作用于等直復合梁x∈(O，l)的兩端，其力矩為：
考慮梁的結構阻尼和外部激勵，根據D Alenbert原理，可建立壓電片對應的等效壓電復合簡支梁的強迫振動方程為：
要說明的是：預壓力在這里看成是系統結構阻尼的一部分，它與摩擦層材料特性有關，6為結構耗。 散的等效力矩衰減系數。
最后可得到壓電片對應的等效壓電復合簡支梁的穩態響應別為：
2接觸面力傳遞模型
電機穩態工作時，定、轉子接觸面上各點的速度在任意時刻t的變化僅與該點在接觸面上的位置有關，因此可以將定子中性層的彎曲振動位移簡化為ω0=ξsinθ。設轉子速度為vm，定轉子接觸面上定子表面某點的切向速度為目，若這點的預壓緊力為△F，則這點產生的推力△Fm[7]：
式中：ε為反映摩擦力大小的比例常數，v-vm為定轉子相對滑動速度：
電機工作達到穩定狀態時，每個波長受定轉子預壓力F的作用，Φ角表示接觸面的起始位置，φ角表示接觸面大小，且有φ=π-2φ，φ1表示定轉子速度相等時的接觸角。由于轉子金屬材料較硬，可認為轉子不產生變形，只有摩擦層發生變形，則接觸 ，面上某接觸點θ處摩擦材料的變形量為：
設kf為轉子摩擦材料的分布剛度，Ef為摩擦材料的彈性模量，df為摩擦材料的材料密度，hf為犀擦材料的厚度，接觸點的分布壓緊力△F可表示如下．
由于彈簧一般較軟，壓緊量的量級以mm為單位，而定子表面的振幅ξ以μm為數量級的，因此穩態工作時的樂緊力和預壓力近似相同，則每個波長產生總的壓緊力F：
由于接觸面上各點摩擦力都滿足式(14)，這樣轉子受到的推力Fm為接觸面上各點分布摩擦力的和：
式中:M2=π-2φ-sina2φ=φ-sinaφ,υs0為定子波表面波峰點的切向速度，定子表面上其余點的切向速度為：
設轉子有效接觸半徑為Rav，則整個接觸面的輸出力矩M、輸出功率Pm為：
當定子表面質點速度大于轉子速度時，摩擦推力作正功；而當定子表面質點速度小于轉子速度時，摩擦推力作負功。因此，摩擦接觸面的損耗Pr為:
由此可求得定、轉子接觸面的總功率P和傳遞效率ηm：
3能量等效數學模型
由式(13)可見，定子振動不僅取決于定子結構參數(包括壓電材料)和壓電片陶瓷元件上驅動電壓和驅動頻率，預緊力和負載也會影響摩擦接觸面的接觸角、分布壓緊力等，從而影響定子的振動。實際的定子振動情況中存在摩擦界面邊界的動約束，并且處于工作狀態的定子振動是負載和轉子耦合的，因此，要考慮定子表面具有可變分布力的系統振動十分困難，為此采用能量等效的原則來分析：將轉子的能量輸出和定轉子的摩擦損耗當作定子振動的結構損耗，并用粘性阻尼效應處理，相當于系統定子有一粘性阻尼力矩作用，即：
式中：δ為結構耗散的等效力矩衰減系數，與式(10)中的δ意義相同，包括定子彈性體內部的機械損耗和壓電片內部的機械損耗。彈性體內部的機械損耗是由于在交變力矩作用下組成彈性體小單元振動微觀滯后，互相間產生摩擦擠壓所消耗的能量；壓電陶瓷內部損耗是由于在多疇的壓電體中，在交變電場作用下，疇壁振動微觀滯后，壁與壁之間產生摩擦擠壓所消耗的能量。它們都是克服內摩擦以熱能的形式消耗掉。
在結構阻尼中，每次彎曲的能量損耗與材料的彎曲剛度和彎曲角度的平方成正比，與頻率無關[8]，即：
式中：β為結構阻尼系數，X為彎曲角度幅值。引入彈性體機械結構阻尼系數ηe和壓電片機械阻尼系數ηp，則一個周期內復合定子結構損耗為：
則電機一個周期內所作全部功由三部分組成：電機定子的結構損耗Ws、摩擦接觸面損耗職Wr電機轉子輸出功Wm，即：
將式(24)和(25)代入式(26)，可得到總的等效力矩衰減系數為：
式中：δs代表彈性梁和壓電片總機械能耗的等效力矩衰減系數，δr和δm分別代表摩擦接觸面滑動摩擦損耗和轉子輸出的等效力矩衰減系數，分別為：
則電機總的運行效率為：
由此建立的基于能量等效的行波型超聲波電動機分析模型。在具體求解時．先利用式(19)和式(20)代人式(28)將δ表示為φ的函數，然后再與式(11)和式(15)聯立求解確定接觸角參數φ和振幅ξ，最后可由式(19)和式(29)分別確定機械特性和電機效率。
4結語
本文針對行波型超聲波電動機特性的分析模型進行詳細研究，利用能量等效原則把環形壓電復合定子等效成等直梁結構，綜合考慮壓電復合定子的機械損耗(包括壓電陶瓷和金屬基體的損耗)、轉動慣量和剪切變形，利用鐵木辛柯梁振動理論得到了壓電復合定子在自由狀態下的頻率方程和受迫狀態下的振動解析解，并利用庫侖摩擦接觸理論建立了定、轉子之間的力傳遞模型，給出了電機穩態時的輸出力矩表達式，并分析了電機能量損耗的組成，通過把定、轉子接觸面的摩擦損耗和轉子的輸出功率等效為定子振動的彎曲阻尼損失，建立了電機的輸出效率表達式，從而系統地建立了基于能量等效的行波型超聲波電動機特性的數學解析模型，可用于行波型超聲波電動機的設計。
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