欠驅(qū)動(dòng)兩關(guān)節(jié)平面機(jī)械手的控制
李明軍，馬保離
北京航空航天大學(xué)第七教研室，北京100191)
摘 要：欠驅(qū)動(dòng)平面機(jī)械手是帶有非完整約束的高度非線性系統(tǒng)，對(duì)其進(jìn)行有效的控制仍然是個(gè)難點(diǎn)熱點(diǎn)問題針對(duì)****代表性的兩關(guān)節(jié)情形，給出了欠驅(qū)動(dòng)兩關(guān)節(jié)平面機(jī)械手的
動(dòng)力學(xué)方程，據(jù)此分析了該系統(tǒng)的可積性、線性化、穩(wěn)定性、可控性和可反饋鎮(zhèn)疋性。根據(jù)控制目標(biāo)的不同，將控制任務(wù)分為鎮(zhèn)定到流形、鎮(zhèn)定到單個(gè)平衡點(diǎn)和跟蹤時(shí)變信號(hào)3種，，針對(duì)這3種控制任務(wù)，分別回顧了各種已有的控制方式，仔細(xì)分析了，它們的優(yōu)點(diǎn)和有待改進(jìn)的地方一最后探索了欠驅(qū)動(dòng)平面機(jī)械手的研究中需要解決的幾個(gè)關(guān)鍵問題，指出未來(lái)的可能研究方向．
關(guān)鍵詞：欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)；兩關(guān)節(jié)平面機(jī)械手；可積性；穩(wěn)定性；可控性
中國(guó)分類號(hào)：TP 27 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A
Control of an Underactuated Planar 2R Manipulator
L／Ming-jun,VIA Bao-li
(The Seventh Reseawh Division，Beihang University，Beijing 100083，China)
Abstract：The control pmblem of the underaetnated planar manipulator with high nonlinearity an d nonholonom)are introduced’Fhe dy-namlcal model of the typical esse with two joints is presented The integrability，linearization，stability，controllability an d feedback sta-bilization ofthe model are analyzed．According to the control objectives，the control task is derided into three types：stabilizing to the manifold，stabilizaing to a single equilibrium an d tracking the time-variant signals Control schemes of these tasks are reviewed，an d the advantages an d the disadvantages of these schemes are analyzed .Finally，some key problems for control of underactuated planar manip-ulators ale proposed，an d the further possible resealch directions are pointed out
Key words：underaetuated systems；planar 2R manipulator；integrability；stability；controllability
1引言
欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)是指控制輸入個(gè)數(shù)少于廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)的系統(tǒng)，一般都具有一階或二階非完整性[1]、不能完全反饋線性化等復(fù)雜特性，使得傳統(tǒng)的非線性控制技術(shù)如反步法[2]、高低增益法[3]、滑�？刂�[4]等直接或間接失效，目前尚無(wú)成熟的帶有普遍性的控制方案，因此，欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制問題仍然是一個(gè)開放性問題[5]。
欠驅(qū)動(dòng)兩關(guān)節(jié)(簡(jiǎn)稱2R)平面機(jī)械手是結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)，它體現(xiàn)了欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的多數(shù)典型特征，如二階非完整性、線性近似系統(tǒng)的不可控性、漂移項(xiàng)帶來(lái)的復(fù)雜性等[6]。因此，對(duì)這個(gè)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、特性復(fù)雜的系統(tǒng)進(jìn)行的研究，是研究更復(fù)雜的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的基礎(chǔ)。大約從20世紀(jì)90年代開始，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了較深的研究，提出了多種控制方案，取得了較好的效果。本文對(duì)欠驅(qū)動(dòng)兩關(guān)節(jié)平面機(jī)械手的研究成果做一個(gè)綜述，分析現(xiàn)有控制方案的優(yōu)缺點(diǎn)，指出今后的研究方向。
2)研究對(duì)象及其特性
1)數(shù)學(xué)模型研究對(duì)象是兩關(guān)節(jié)平面機(jī)械手，關(guān)節(jié)1有驅(qū)動(dòng)電機(jī)，關(guān)節(jié)2沒有，如圖1所示。
 根據(jù)拉格朗日方程，選擇狀態(tài)變量x=[q 1 q 2 q 1 q 2] T，進(jìn)行化簡(jiǎn)，容易得到如下動(dòng)力學(xué)方程：  式中，A是結(jié)構(gòu)常數(shù)。 2)可積性式(1)的欠驅(qū)動(dòng)約束為
根據(jù)文獻(xiàn)[7]的結(jié)論，式(2)是一次不可積的(從而也是二次不可積的)，故式(2)是二階非完整約束。二階非完整約束不能降低位形空間的維數(shù)和狀態(tài)空間的維數(shù)，這使得基于對(duì)稱性的約簡(jiǎn)理論[8]失效。
3)線性化分析令x=0，則得到平衡點(diǎn)集合：
這是連續(xù)的平衡點(diǎn)集合，要比孤立的平衡點(diǎn)更難以控制。
式(1)在平衡點(diǎn)處的線性化系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，因此不能通過線性狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定；旦可控性矩陣的秩總是2，總是有2個(gè)不可控模態(tài)。需要注意的是，文獻(xiàn)[9]指出，如果系統(tǒng)含有重力項(xiàng)，則在任何平衡點(diǎn)處的線性化系統(tǒng)都是可控的。
4)穩(wěn)定性式(1)沒有考慮摩擦力的影響，在沒有外界控制作用下，將保持能量守恒和角動(dòng)量守恒，處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。
在已有的文獻(xiàn)中，經(jīng)常使用的開環(huán)控制一般不涉及到穩(wěn)定性，而閉環(huán)控制及萁穩(wěn)定性討論可見“控制策略”一節(jié)。
5)可控性針 對(duì)可控性，已有文獻(xiàn)所研究的大多數(shù)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)都不含有漂移項(xiàng)[10]，而式(1)含有漂移項(xiàng)：對(duì)于無(wú)漂系統(tǒng)，可達(dá)性一般意味著可控性，而可達(dá)性可用李括號(hào)秩條件來(lái)驗(yàn)證[2]。而漂移項(xiàng)的存在，使得可達(dá)性不再意味著可控性，需要用更復(fù)雜的工具才能驗(yàn)證是否具有可控性。
文獻(xiàn)[11]提出了小時(shí)間局部可控性(sTLc： Small-Time Local C0ntrollability)的概念，并給出了有漂系統(tǒng)具有sTLc的充分條件。具有sTLc的系統(tǒng)具有局部可達(dá)性，但是對(duì)于有漂系統(tǒng)而言，可達(dá)性不意味著可控性。文獻(xiàn)[6]證明了式(1)不滿足sTLc的充分條件。文獻(xiàn)[12]更進(jìn)一步，說(shuō)明除若干點(diǎn)外，式(1)都不具有sTLc.文獻(xiàn)[12]還提出小時(shí)間局部輸出可控性(sTLOc：small-Time Local Output confrnllability)的概念，說(shuō)明除一些特殊點(diǎn)外，系統(tǒng)(1)處處具有sTLOc。
據(jù)筆者所知，目前還沒有文獻(xiàn)給出式(1)的可控性證明方法，但是文獻(xiàn)[13]給出了欠驅(qū)動(dòng)3R平面機(jī)械手的可控性證明，文獻(xiàn)[14]進(jìn)一步指出，只要第一關(guān)節(jié)含驅(qū)動(dòng)電機(jī)，那么含有n≥3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的水平機(jī)械手都具有sTLc。從這個(gè)角度來(lái)看，欠驅(qū)動(dòng)2R平面機(jī)械手比欠驅(qū)動(dòng)3R平面機(jī)械手的難度要大，文獻(xiàn)[15]從另一個(gè)角度證實(shí)了這個(gè)觀點(diǎn)．
6)反饋鎮(zhèn)定式(1)不能通過線性反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定，但仍可通過非線性反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定。文獻(xiàn) [7]根據(jù)文獻(xiàn)[16]關(guān)于一般非線性系統(tǒng)存在定常光滑反饋鎮(zhèn)定律的必要條件，證明了式(1)在單個(gè)平衡點(diǎn)處不存在定常光滑反饋鎮(zhèn)定律。
實(shí)際上，很多非線性系統(tǒng)都不存在定常光滑反饋鎮(zhèn)定律，但是可以使用開環(huán)控制[6]、時(shí)變反饋控制[17]、離散控制[18]和非光滑反饋鎮(zhèn)定律[19]。
對(duì)于不存在定常光滑反饋鎮(zhèn)定律的系統(tǒng)，可以提出其他的控制目標(biāo)，如鎮(zhèn)定到平衡點(diǎn)流形(mani—folds 0f equilmrium points)E或某些軌線上[19]。
3控制策略
由上文可知，系統(tǒng)(1)是一個(gè)很難控制的系統(tǒng)，原因還在于該系統(tǒng)在某些情況下具有混沌行為[20]。
對(duì)系統(tǒng)(1)，從控制目標(biāo)來(lái)說(shuō)，可以分為如下幾類：
①鎮(zhèn)定到流形，包括平衡點(diǎn)流形[7]和普通流形[21-22]。
②鎮(zhèn)定到單個(gè)平衡點(diǎn)[6，18，20]。
③跟蹤時(shí)變信號(hào)，就筆者所知，這類問題還未
見報(bào)道。
從控制策略來(lái)說(shuō)，有連續(xù)控制、離散控制、模糊控制、切換控制、混雜控制等。由于式(1)的控制問題仍然是一個(gè)開放性問題，因此難以就其控制策略給出一個(gè)清晰的歸類；在上面所列的幾種控制策略中，除了切換控制、混雜控制是將桿1和桿2交替地鎮(zhèn)定到目標(biāo)位置外，前面3種方法大多采用了“兩步走”的策略，即先控制好桿I并使之不動(dòng)，然后控制好桿2[6,20,21,22]，或反之[23]。目前仍難同時(shí)控制好桿1和桿2。
當(dāng)然，也有研究人員試圖對(duì)式(1)進(jìn)行簡(jiǎn)化，如在關(guān)節(jié)2處添加制動(dòng)器[11]，或是將關(guān)節(jié)2處的摩擦力考慮進(jìn)來(lái)[21,23]。
1)鎮(zhèn)定到流形
①鎮(zhèn)定到平衡點(diǎn)流形文獻(xiàn)[11]成功地將式
(1)控制到平衡點(diǎn)流形：
式中，q1d是桿l的期望位置。
所采用的控制律是典型的PD控制“u=-kpq1-kDq1，其中，kp，kD是正實(shí)數(shù)，g=q1-q1d。文獻(xiàn)[7]利用BarhaIat引理、q1的一致連續(xù)性和Lya—punov函數(shù)：
證明了，在上述PD控制的作用下，平衡點(diǎn)流形M是局部漸近穩(wěn)定的。
6)反饋鎮(zhèn)定式(1)不能通過線性反饋來(lái)實(shí)現(xiàn) 顯然，文獻(xiàn)[7]只是把桿2的運(yùn)動(dòng)看成一種擾
并未考慮桿2的最終停留位置，所以沒有什么實(shí)用價(jià)值，因?yàn)閷?shí)際的工業(yè)機(jī)械手的操作部分都是末端連桿。但是，該控制策略在理論上不限于兩關(guān)節(jié)機(jī)械手，可推廣到更一般的機(jī)器人結(jié)構(gòu)[24]。
②鎮(zhèn)定到普通流形文獻(xiàn)[22]采用“兩步走”的策略：先用反饋控制或文獻(xiàn)[7]的方法，將桿1從(q1,q1)控制到(0，q，q1d)；然后給式(1)施以周期輸入信號(hào)u=sω2cosωt，將系統(tǒng)變成一個(gè)周期系統(tǒng)，使用平均化方法，將它近似化成在時(shí)間上的平均，根據(jù)一個(gè)Lyapunov函數(shù)，設(shè)計(jì)一個(gè)漸近穩(wěn)定的反饋控制律，將平均化系統(tǒng)從初始狀態(tài)控制到包含期望位置(q2,q2)=(0，q2d)的流形上去，從而將原系統(tǒng)控制到包含該位置的流形上。
上述方法具有一般性，有一定的理論價(jià)值，但是它不能保證系統(tǒng)以零速度停止在期望位置的小鄰域內(nèi)，因此實(shí)用價(jià)值不高。
文獻(xiàn)[21]在處理系統(tǒng)(1)時(shí)，認(rèn)為第二個(gè)關(guān)節(jié)存在較大的摩擦力，這減小了問題的難度，同時(shí)也比較符合實(shí)際情況。該文采用“兩步走”的策略，使用周期性輸入和平均化的方法將系統(tǒng)鎮(zhèn)定到包含期望位置的流形上去。這些措施具有全局鎮(zhèn)定能力。
2)鎮(zhèn)定到單個(gè)平衡點(diǎn)
①兩步走策略文獻(xiàn)[20]提出了一種控制律，將式(1)從任意初始狀態(tài)控制到任意單個(gè)平衡點(diǎn)。嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，該控制律既不是純反饋控制也不是純鎮(zhèn)定控制，應(yīng)該算作反饋、鎮(zhèn)定和開環(huán)的混合控制策略。文中采用“兩步走”的策略，思路是：
先用反饋控制或者文獻(xiàn)[7]的方法，將桿l從 (q1,q1)控制到(0，q1d)；然后對(duì)桿1施加周期性輸入u=ycosωt(以保證每個(gè)周期之后(q1,q1)又重新回到(O，q1d)，將振幅y看做輸入，設(shè)計(jì)其反饋鎮(zhèn)定律，將桿2控制到相平面q2-q1的一條類橢圓形軌線上(該軌線通過桿2的期望位置(q2,q2)=(O，q2d)。當(dāng)進(jìn)入期望位置(q1,q1,q2,q2)=(O，q1d,O， q2d)的小鄰域之后，通過調(diào)整周期性輸入信號(hào)u=ycosωt的振幅，將系統(tǒng)的狀態(tài)控制在期望位置的鄰域之內(nèi)。然而，無(wú)法保證系統(tǒng)以零速度停止在期望位置的小鄰域內(nèi)。
由于桿1可能需要經(jīng)過多個(gè)周期的重復(fù)運(yùn)動(dòng)后，桿1和桿2才能停留在目標(biāo)位置的小鄰域之內(nèi)，因此，從節(jié)能的角度和機(jī)械手末端的高精度定位需求來(lái)看，文獻(xiàn)[20]的控制策略不具有太大的實(shí)用價(jià)值。另外，該策略太過于啟發(fā)式，振幅y的反饋鎮(zhèn)定律以及桿1的周期運(yùn)動(dòng)次數(shù)都嚴(yán)重依賴于實(shí)際的和期望的類橢圓形軌線的參數(shù)，很難推廣到其他系統(tǒng)，因此理論價(jià)值也不很高。最后，文獻(xiàn)[20]的控制律的穩(wěn)定性沒有嚴(yán)格保證。
文獻(xiàn)[6]對(duì)式(1)進(jìn)行Nilpotent近似化，然后將開環(huán)控制策略以迭代方式應(yīng)用于近似系統(tǒng)，將系統(tǒng)從一個(gè)平衡點(diǎn)控制到另一個(gè)平衡點(diǎn)。采用“兩步走”的策略：先將桿1控制到期望位置(q1,q1)=(0，q1d)，然后以迭代方式將開環(huán)控制應(yīng)用于近似系統(tǒng)，在每個(gè)迭代階段末期，桿1回到期望位置(q1,q1)=(O，q1d)，而桿2離期望位置(q2，q2)=(O，q2d)更近。文獻(xiàn)[6]證明了這種迭代過程是指數(shù)收斂的。
文獻(xiàn)[6]所采用的Nilpotem近似化方法具有一般性，其缺陷如下：
每次迭代所持續(xù)的時(shí)間需要重新選擇；需要調(diào)整幾個(gè)參數(shù)以滿足每次迭代前的初始條件，這些參數(shù)的調(diào)整本身又是一個(gè)很復(fù)雜的過程；由于采用的是開環(huán)控制策略，無(wú)法抑制擾動(dòng)。
②模糊控制策略文獻(xiàn)[23]為每個(gè)桿建立一個(gè)模糊控制子系統(tǒng)，并采用“兩步走”的策略。
在先控制好桿2后，考慮關(guān)節(jié)2的摩擦力，僅對(duì)桿l的模糊控制系統(tǒng)施加一個(gè)較小的控制輸入(以免桿1的運(yùn)動(dòng)引起桿2的擺動(dòng))。最終，桿1通過減幅振蕩運(yùn)動(dòng)到期望位置，而桿2仍在期望位置。
文獻(xiàn)[23]說(shuō)明了模糊控制對(duì)非完整欠驅(qū)動(dòng)這類極為復(fù)雜的非線性系統(tǒng)仍然有效。其缺點(diǎn)是：沒有對(duì)控制律進(jìn)行穩(wěn)定性證明；驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸出與桿2的運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，不能靠人的主觀經(jīng)驗(yàn)來(lái)提煉模糊規(guī)則，桿2的模糊規(guī)則庫(kù)完全是事先通過仿真試湊出來(lái)的，缺乏直觀性、可靠性和適應(yīng)性。
③坐標(biāo)變換策略文獻(xiàn)[18]討論了式(1)對(duì)笛卡爾空間的固定目標(biāo)點(diǎn)的路徑規(guī)劃，利用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)將笛卡爾空間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)空間的坐標(biāo)，也可算作是鎮(zhèn)定到單個(gè)平衡點(diǎn)。使用多速率采樣方法對(duì)式(1)進(jìn)行離散建模，結(jié)合前饋控制、反饋控制以及數(shù)值算法進(jìn)行求解。
文獻(xiàn)[18]的控制過程略顯復(fù)雜，離線規(guī)劃的路徑和離線設(shè)計(jì)的控制器對(duì)于不同的目標(biāo)點(diǎn)不具適應(yīng)性，且數(shù)值算法需要在線進(jìn)行，實(shí)時(shí)性無(wú)法保證。
④切換控制策略文獻(xiàn)[5]提出的切換控制幾乎能同時(shí)將桿1和桿2控制到目標(biāo)位置。
首先，為桿1和桿2分別設(shè)計(jì)一個(gè)基于計(jì)算力矩法的穩(wěn)定子系統(tǒng)，然后，使用模糊控制對(duì)這兩個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行切換控制，模糊規(guī)則是通過遺傳算法離線獲取和離線優(yōu)化的。文獻(xiàn)[5]所用方法可用于更多關(guān)節(jié)的情形，但是對(duì)初始位置不具有適應(yīng)性，每當(dāng)初始位置改變時(shí)，就要用遺傳算法重新離線獲取和離線優(yōu)化模糊規(guī)則。
文獻(xiàn)[25]也幾乎同時(shí)將桿1和桿2控制到目標(biāo)位置。首先，為桿1和桿2分別設(shè)計(jì)了一個(gè)基于計(jì)算力矩法的子系統(tǒng)及其模糊能量區(qū)域，然后，在2個(gè)模糊能量區(qū)域之間設(shè)計(jì)一條總能量下降曲線，使用切換控制策略使得系統(tǒng)的總能量沿著這條曲線減少，直到達(dá)到控制目標(biāo)。該文成功地完成了控制任務(wù)，但是其缺點(diǎn)電較為明顯，即：切換策略易導(dǎo)致高頻抖動(dòng)；對(duì)于三桿或更多桿的機(jī)械手，總能量下降曲線的尋找變得很困難。
⑤自適應(yīng)模糊滑模控制策略文獻(xiàn)[26]采用自適應(yīng)模糊滑�？刂撇呗詫⑹�(1)鎮(zhèn)定到單個(gè)平衡點(diǎn)，采用“兩步走”的策略，目前考慮關(guān)節(jié)2的摩擦力以減少問題的難度。模糊輸入不再采用傳統(tǒng)的誤差和浸差變化率而是采用滑模面為模糊輸入，減少了模糊規(guī)則數(shù)量。
利用李亞普諾夫穩(wěn)定性理論推導(dǎo)出自適應(yīng)調(diào)整律，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后，它顯式考慮了外來(lái)擾動(dòng)，有較好的魯棒性和實(shí)用價(jià)值。
4結(jié)語(yǔ)
綜上所述，欠驅(qū)動(dòng)2R平面機(jī)械手在特性分析、運(yùn)動(dòng)控制等方面都取得到了一定的成果，但仍有很多如下問題需進(jìn)一步研究。
①已有的控制策略幾乎都沒有考慮動(dòng)態(tài)品質(zhì)，如時(shí)間****、燃料****等。
②大部分控制策略使用的是精確模型，沒有考慮模型的不確定性，缺少魯棒性，減弱了實(shí)用價(jià)值。
③大部分控制策略都沒有給出嚴(yán)格的穩(wěn)定性證明。
④在跟蹤時(shí)變信號(hào)方面，所做的研究還很有限。
⑤從笛卡爾空間到關(guān)節(jié)空間的逆動(dòng)力學(xué)求解可能存在奇異位形，所以大部分文獻(xiàn)都是在關(guān)節(jié)空間里進(jìn)行研究，但是這種做法在實(shí)用上缺乏直觀性。
⑥如何將欠驅(qū)動(dòng)兩關(guān)節(jié)機(jī)械手的成果推廣更多關(guān)節(jié)的情形，需進(jìn)一步研究。
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