| 基于矢量位半解析法的表面式電機
永磁氣隙磁場和定位轉矩研究
鄭成勇，章躍進，薛波，陸國林
(1．上海大學，上海200072；2．中國電子科技集團公司第二十一研究所，上海200233)
摘要：矢量位半解析法分析分數槽電機的永磁氣隙磁場和定位轉矩。永磁體和氣隙區(qū)域用解析法求解，槽型區(qū)域用差分法計算。兩區(qū)域共有部分的磁場計算結果作為另一個場域的邊界條件。真實反映氣隙磁場的切向和徑同磁密，由此可準確計算定子開槽后的定位轉矩，實例計算與有限元計算有較好的吻合，驗證了該方法的正確性。
關鍵詞：矢量位；半解析法；分數槽電機；水磁氣隙磁場；定位轉矩
O引 言
氣隙磁場分析是永磁電機設計及性能計算的基礎。表貼式電機等效氣隙大，故氣隙磁場必須二維分析。解析法分析二維氣隙磁場，計算精度高于一維磁路法，計算過程簡單、快速，文獻[3]通過引入相對磁導率函數考慮開槽后的影響，用相對磁導函數與未開槽的氣隙磁場相乘，得到開槽后的氣隙二維磁場。但是在保角變換中，相對磁導函數相對復雜，為了計算，還需要通過一些近似簡化，或直接用數值法計算氣隙磁導非線性函數，更主要的是忽略徑向氣隙磁密。針對這一問題，文獻[5]采用復變量保角變換，克服了切向氣隙磁通密度分量被隱沒的缺點。上述采用保角變換分析開槽影響的方法，均是以無限深單槽模型為基礎的，沒有考慮槽與槽之間的影響。文獻[6]則在實際糟深條件下進行分析，計算中將求解區(qū)域劃分為氣隙區(qū)域和槽形區(qū)域，兩個區(qū)域存在互相重疊部分，其目的是借用共同部分的磁場計算結果作為區(qū)域的磁場邊界值，用于計算各自區(qū)域的磁場。兩個區(qū)域的磁場依次計算，通過若干次迭代得到最終結果。該方法考慮了實際槽形分布，計算結果更符合實際，當然槽域數學模型復雜。文獻[7—8]在解析法的基礎上引入差分法計算空載氣隙磁場。以標量位建立氣隙磁場解析表達式，永磁體和氣隙區(qū)域用解析法求解，槽型區(qū)域用差分法計算。兩區(qū)域共有部分的磁場計算結果作為另一個場域的邊界條件，在計算整數槽電機氣隙磁場時獲得了滿意的結果。以上方法均采用標量磁位求解氣隙磁場，半解析法分析分數槽電機氣隙磁場時，標量磁位定子齒頂表面為恒值，磁位變化范圍局限在槽口狹窄區(qū)域內，使徑向氣隙磁密計算誤差較大。
本文建立了以矢量磁位表示的空載氣隙解析式表達式，永磁體和氣隙區(qū)域用解析法求解，槽型區(qū)域用差分網格剖分計算。兩區(qū)域共有部分的磁場計算結果作為另一個場域的邊界條件。真實有效地反映永磁氣隙磁場的切向和徑向磁密，由此可準確計算定子開槽后的齒槽定位轉矩。齒槽轉矩本質上是永磁體產生的磁動勢與定子開槽后引起磁阻變化相互作用而產生的，本文通過矢量位半解析法計算得到永磁氣隙磁場的徑向磁密和切向磁密，應用麥克斯韋應力張量法，對分數槽齒槽定位轉矩進行定量分析。實例計算結果與有限元計算結果有較好的吻合，驗證了該方法的正確性。
1求解區(qū)域劃分
計算永磁氣隙磁場，槽內沒有電流，整個區(qū)域采用矢量磁位計算。由于定子開槽，無法一次性直接通過解析法來求解，于是將求解區(qū)域劃分為等效均勻氣隙區(qū)域和槽型區(qū)域(如圖1所示)。整個氣隙區(qū)域包括氣隙和永磁體，并假定永磁體的相對磁導率等于1。均勻氣隙區(qū)域用解析法求解，槽型區(qū)域由槽型子區(qū)域組成，每個槽構成一個槽型子區(qū)域，包括槽內區(qū)域和一個槽距范圍的氣隙區(qū)域。每個槽型子區(qū)域的磁場用差分法計算。如此劃分，使槽型區(qū)域和氣隙區(qū)域存在共有部分，目的是利用兩個區(qū)域的磁場條件計算結果獲得各區(qū)域的磁場邊界條件。
2矢量位永磁氣隙磁場解析法表達式
等效氣隙區(qū)域包括氣隙與永磁體兩部分。假設鐵心磁導率無窮大，永磁材料退磁曲線為直線。在極坐標下矢量磁位方程式：
氣隙區(qū)域I
永磁區(qū)域II
式中，v為磁阻率，M為永磁體磁化強度。設永磁體徑向充磁，磁化強度僅有徑向分量
式中，θ1為永磁體初位移角。邊界條件
式中，Rs、Rr、Rm分別為定子內半徑、轉子鐵心外半徑、永磁體外半徑。式(1)、式(2)的通解為：
差分方程計算得到定子和轉子氣隙表面離散節(jié)點上的磁位值，節(jié)點之間磁位用線性插值函數獲得，得各系數為
其中：
為定子表面磁位，Ar(θ1)為轉子表面磁位，m為一個機械周期內磁密的周期數。
3槽域磁場差分法分析
在應用差分法時，需要確定求解區(qū)域和網格剖分以產生離散的點，并且在這些離散點上建立與偏微分方程相對應的差分方程，具體表現為一個點上的值由旁邊四個點的值來確定其****性，在本課題中應用了圓柱坐標系下的線性差分方程，如圖2所示。
在邊界內的網格上任意節(jié)點(i，j)磁位滿足方程：
其中，hj為x方向上的網格步長，hj為y方向上的網格步長，節(jié)點Ai,j的值由與它相鄰的四個節(jié)點的磁位值決定，一個節(jié)點對應一個差分方程(邊界上的節(jié)點單獨考慮)。
4計算實例
一臺5極12槽的永磁無刷電機，已知Rm=24.7mm，Rr=20．7mm，Rm=25．3mm，b0=2．4mm，AP=1，Br=1．1058。采用半解析法，初始計算以定子未開槽Az為已知量，獲得均勻氣隙下的空載氣隙磁場的分布，考慮到開槽影響，將每個槽域氣隙內左右邊界處的磁位值代入差分方程，解得每個槽域內的磁位分布。然后將定子和轉子表面磁位作為均勻氣隙的邊界條件，由開槽后氣隙磁場新解析式解得氣隙磁位分布，經過一次計算便可得到氣隙磁場磁密波形。
圖3和圖4為不同的θ00000000下，有限元法和半解析法計算得到的空載氣隙磁密的圖形，兩者較好地吻合。圖5為兩種方法的定位轉矩圖形對比，兩種方法計算值在變化趨勢基本一致，從而驗證了本方法的正確性。
5結論
基于矢量位建立的半解析法，計算分數槽電機永磁氣隙磁場和定位轉矩，避免了氣隙磁場切向分量被湮沒的情況；同時差分法網格分布規(guī)則，且剖分容易、直觀。在獲得氣隙切向磁密和徑向磁密分布的基礎上，通過麥克斯韋應力張量法計算出定位轉矩，使定子開槽后對定位轉矩的影響更加客觀地反映出來。半解析法計算值和有限元法值對比，取得了較好的一致性。本方法可以推廣到反電動勢和負載氣隙磁場的計算。
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