1．不了解數學模型的內涵，就根本建立不了控制對象的精確數學模型，尤其禁忌想當然亂湊數學模型
什么是數學模型?簡單地說：數學模型就是對實際問題的一種數學表述。具體一點說：
數學模型是關于部分現實世界為某種目的的一個抽象的簡化的數學結構。更確切地說：數學模型就是對于一個特定的對象為了一個特定目標，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。數學結構可以是數學公式、算法、表格、圖示等。數學建模就是建立數學模型，數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象思維、簡化操作來建立能近似刻劃并解決實際問題的一種強有力的數學手段。
數學模型作為解決實際問題的一種基本工具，它將實際問題抽象成一個數學模型后，再運用數學工具進行求解，并將結果應用于具有相同特征的一類問題中，是解決實際問題的一種基本的途徑。實際問題往往是紛繁而復雜的，而其中的規律也是隱藏著的，要想直接用計算機來求解實際問題往往有一定的困難，甚至無法實現。計算機擅長的是解決數學問題。因此，我們有必要將實際問題抽象成數學模型，然后再用計算機來對數學模型進行求解。
與實際問題相比，數學模型有以下幾個性質：①抽象性：數學模型是實際問題的一種抽象，它去除了實際問題中與問題的求解無關的部分，簡明地體現了問題的本質；②高效性：
數學模型中各個量之間的關系更為清晰，容易從中找到規律，從而提高求解的效率；由于這一點是由數學模型的抽象性決定的，因此數學模型的抽象化程度對數學模型效率的高低有重要的影響；③可推廣性：數學模型可以推廣到具有相同性質的一類問題中。換句話說，解決了一個數學模型就解決了一類實際問題。這里的“相同性質’’是指相同的本質，表面看似毫不相干的問題卻可能有著相同的本質。由于這一點也是由數學模型的抽象性決定的，因此數學模型的抽象化程度對數學模型的推廣范圍也有重要的影響。因而，數學模型的建立不僅僅是模擬已知結果，最重要是對未知的預測。
由于考慮問題的角度不同，面對同一個實際問題，可能建立起各種各樣的數學模型。在各種數學模型中，要尋找的是效率****的模型。模型的效率同模型的抽象化程度有關。 數學模型是建立在問題本質的基礎上的，而不是建立在問題的表面現象上的。因此，雖然兩個問題表面毫無關系，只要它們有著相同的本質，就可以用相同的數學模型求解。然而，要看到兩個問題有相同的本質并不是一件容易的事。這需要我們拋開問題的表面現象仔細地分析對比，由表及里、去偽存真，在問題之間建立對應關系。
數學模型的高效性與其抽象性是緊密聯系的。數學模型越是抽象，它的效率也就越高數學模型的可推廣性與其抽象性也是緊密聯系的。數學模型越是抽象，它也就越容易被廣泛應用。建立數學模型一般應該：首先要了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，弄清對象的特征。然后根據對象的特征和建模目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設，是建模至關重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，無疑是～種有勇氣但方法欠佳的行為，所以高超的建模師能充分發揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡單，應盡量使問題線性化、均勻化。再根據所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規律和適當的數學工具，構造各個量間的等式關系或其他數學結構。這時，便會進入一個廣闊的應用數學天地，這里在高數、概率老人的膝下，有許多可愛的孩子們，他們是圖論、排隊論、線性規劃、對策論等許許多多，真是泱泱大國，別有洞天。不過應當牢記，建立數學模型是為了讓更多的人明了并能方便加以府用，因此工具愈簡單愈有價值。這里，可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學方法，特別是計算機技術。一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算，許多時候還得將系統運行情況用計算機模擬出來，因此編程和熟悉數學軟件包能力便舉足輕重。最后還要對模型解答進行數學上的分析。“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，能否對模型結果作出細致精當的分析，決定了你的模型能否達到更高的檔次。還要記住，不論哪種情況都需進行誤差分析、數據穩定性分析。
2·不建立控制系統精確的數學模型，就根本設計不了高精度的控制系統，尤其禁忌不建立數學模型就進行盲目粗糙設計
控制系統的數學模型即是描述控制系統的數學表達式。對于現實世界的某一特定對象。
為7某個特定的目的，通過一些必要的假設和簡化后，將系統在信號傳遞過程中的特性用數學表達式描述出來，就可獲得該系統的數學模型。控制工程的設計方法，就是要建立控制系統的數學模型，并在此基礎上對控制系統進行分析、綜合。因而，數學模型是控制工程設計的基礎和必要條件。工程上常用的數學模型有：微分方程、傳遞兩數和狀態方程。微分方程是基本的數學模型，是傳遞函數的基礎。數學模型不是****的，同一個系統可有不同的數學模型，建立的數學模型是否適用只能通過實驗來進行驗證。
建立數學模型就是應用不同學科中的一些定律及基本原理。如：牛頓定律、質量守恒定律、基爾霍夫定律和馬克斯韋爾方程等等。在建立數學模型的過程中常會遇到模型的簡化和模型的精度之間的矛盾。解決這個問題，必須對系統作全面的分析了解，需要有豐富實用的建模經驗，才能分出系統中各部分結構及參數的作用及影響的主次，建立一個既簡化又有一定準確度的適用模型。
線性系統，可由線性微分方程描述的系統。線性微分方程是指微分方程是定常和線性的。線性系統可應用疊加原理，將多輸入及多輸出的系統轉化為單輸入和單輸出的系統進行處理分析，最后進行疊加。另外線性系統還有一個重要的性質，就是均勻性，即當輸入量的數值成比例增加時，輸出量的數值也成比例增加，而且輸出量的變化規律只與系統的結構、 參數及輸入量的變化規律有關，與輸入量數值的大小是無關的。線性化數學模型是工程上最常用的數學模型。
非線性系統是研究非線性系統的運動規律和分析方法的一個分支學科。非線性系統最重要的問題之一就是確定模型的結構，如果對系統的運動有足夠的知識，則可以按照系統運動規律給出它的數據模型。一般來說，這樣的模型是由非線性微分方程和非線性差分方程給出的，對這類模型的辨別可以采用線性化，展開成特殊函數等方法。非線性系統理論的研究對象是非線性現象，它反映出非線性系統運動本質的一類現象，不能采用線性系統的理論來解釋，主要原因是非線性現象有頻率對振幅的依賴性、多值響應和跳躍諧振、分諧波振蕩、自激振蕩、頻率插足、異步抑制、分岔和混沌等。非線性數學模型通常都比較復雜，難以求解，甚至是根本就無法求解。
非線性系統線性化是對于某些非本質的非線性系統最常用的處理方法。在一定條件下進行線性化處理，可以簡化分析。一般線性化方法是在工作點附近甩切線來代替，即將非線性函數在工作點附近展開成臺勞級數，并略去高于一次的項，就可得到近似的線性差分方程。
因為控制系統的數學模型關系到對控制系統性能的分析結果，所以建立合理的數學模壟是控制系統分析中最重要的事情。它主要包括對系統和元件數學模型的建立、傳遞函數的概念、結構圖和信號流圖的建立及簡化等內容。
數學模型有動態模型與靜態模型之分。描述系統動態過程的方程式，如微分方程、偏微分方程、差分方程等，稱為動態模型；在靜態條件下(即變量的各階導數為零)，描述系統各變量之間關系的方程式，稱為靜態模型。同一個物理系統，可以用不同的數學模型來表達。例如，實際的物理系統一般含有非線性特性，所以系統的數學模型就應該是非線性的。
而且嚴格地講，實際系統的參數不可能是集中的，所以系統的數學模型又應該用偏微分方程描述。但是求解非線性方程或偏微分方程相當困難，有時甚至不可能。因此，為了便于問題的求解，常常在誤差允許的范圍內，忽略次要因素，用簡化的數學模型來表示實際的物理系統。這樣同一個系統，就有完整的、復雜的數學模型和簡單的、準確性較差的數學模型之分。一般情況下，在建立數學模型時，必須在模型的簡化性與分析結果的精確性之間做出適當的折衷考慮。此外，數學模型的形式也有多種。為了便于分析研究，可能某種形式的數學模型比另一種更合適。例如時域的微分方程比較直觀，但靈活性不高，為此，用拉氏變換法求解微分方程，引進復數域的數學模型——傳遞函數；它是經典控制論中最基本和最重要的概念，也是控制理論學習的基礎。再如在求解****控制問題或多變量系統的問題時，采取狀態變量表達式(即狀態空間表達式)比較方便；但是在對單輸入、單輸出系統的分析中，采用輸入輸出間的傳遞函數(或脈沖傳遞函數)作為系統的數學模型比較合適。所以在建立系統數學模型時，必須注意：
1)全面了解系統的特性，確定研究目的以及準確性要求，決定能否忽略一些次要因素而使系統數學模型簡化，既不致造成數學處理上的困難，又不致影響分析的準確性。一般在條件允許下，最初盡可能采用簡化的常系數線性數學模型。若有必要，再在線性模型分析的基礎上考慮被忽略因素所引起的誤差，然后再建立系統比較完善準確的數學模型。但是必須指出，由于數學分析方法上存在的誤差，數學模型不必要的復雜化，有時并不一定會帶來預期的準確結果。
2)根據所應用的系統分析方法，建立相應形式的數學模型(微分方程、傳遞函數等)．
有時還要考慮便于計算機求解。
建立系統的數學模型主要有兩條途徑：①是利用人們已有的關于系統的知識，采用演繹的方法建立數學模型；演繹法是一種推理方法，用這種方法建立模型時，是通過系統本身機理(物理、化學規律)的分析確定模型的結構和參數，從理論上推導出系統的數學模型，這種利用演繹法得出的數學模型稱為機理模型或解析模型；②是根據對系統的觀察，通過測量所得到的大量輸入、輸出數據，推斷出被研究系統的數學模型。這種方法稱為歸納法，利用歸納法所建立的數學模型稱為經驗模型。一般地講，采用演繹法建立的數學模型，是系統模型化問題的****解。而采用歸納法時，能夠滿足觀測到的輸入、輸出數據關系的系統模型卻有無窮多個。
只有建立了能反映實際控制系統精確的數學模型后，才有可能設計出高精度的控制系統，否則將是勞而無功，并會造成人力、財力和物資上的極大浪費。
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