采樣控制系統的提升H∞法設計
劉彥文，劉 勝，高振國
（哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江哈爾濱15000）
摘 要：考慮到常規的加權H∞；設計并不能滿足提升變換所要求的應用條件，針對滿足提升變換條件的采樣控制系統的擾動抑制問題，進行了提升法H∞設計分析指出，只有加權系數的擾動抑制問題和輸入端加權（函數）的擾動抑制問題能夠滿足提升H∞更換的應用條件，因此可以用提升法進行H∞設計。通過具體的實例，針對兩種問題分別進行了提升法H∞設計。仿真結果表明，加權系數的擾動抑制問題，雖然提升變換后的范數值等于原采樣系統的L2誘導范數，但所得設計結果并不能代表系統真正的性能指標，不是真正意義上的H∞綜合；輸入端加權函數的擾動抑制問題所得的結果是正確的，反映了svnthesis所想要的性能，而且能夠反映系統在采樣時刻間的真買性能：
關鍵詞：采樣控制系統；提升技術；H∞設計；擾動抑制問題
中圖分類號：TP ?73 文猷標識碼iA
1引言
提升技術因為能考慮到采樣時刻之間信號的變化，給出準確的L2誘導范數，所以已經成為采樣控制系統H∞設計的主要手段。但是提升法的應用是有條件的，當條件不滿足時，提升法口。設計所得的結果實際上并不具有synthesis所想要的性能。
分析表明，只有加權系數的擾動抑制問題和輸入端加權函數的擾動抑制問題滿足提升法的應用條件，因此可以用提升法來進行H∞設計。本文通過具體實例，分別針對加權系教和輸入端加權函數的擾動抑制問題進行了提升法H∞設計，并對設計結果進行了仿真分析和進一步的校驗。其結果表明，提升設計能反映系統在采樣時刻間的性能。
2采樣系統中的提升計算
所謂“提升”，是指將一連續信號f(t)按采樣時間T切成互相銜接的各段信號。
這個序列也是一種離散信號，只是在函數空間L2[o，T）取值。即：
現設一連續系統的狀態方程為
這一系統的提升輸入和狀態變量之間的關系可分析如下：
定義Xk為離散時刻的狀態XK=X（KT），則
當用算子來表示時就是：
本中的Rx 是指狀態變量x的維數，以下均類同。
系統(1)的輸出方程則為
關于這些算子的更進一步說明，可參閱文獻[3]。在采樣控制系統中，作為對象的這個系統尚有第2個輸入，即控制輸入u和第2個輸出y。這第2個輸入和輸出是通過保持器日和采樣器S與離散控制器kd相連接的。離散時刻的輸入(uk)輸出（yk）與狀態變量X之間的關系兢是常規的保持器離散化所得的關系式。根據式(3)，式(4)再加上這第2個輸入和輸出后的廣義對象的算子形式的傳遞函數為：
式中，對應第2個輸入等于離散化系統的輸入
提升計算的最后一步是將這等效的算子形式的傳遞函數G變換為一個有限維的矩陣形式的傳函數陣Gd:
提升變換所得的Gd已是一個用矩陣來表示的離散對象了，接下來就是用常規的方法對離散系統進行綜合( synthesis)了。具體計算的時候都已有標準的算法和程序。
3滿足提升應用條件的日。設計
文獻[1]中給出了應用提升法進行H∞設計的2個前提條件：
① (A，B1)可控，(c1，A)可觀測。
② ( c2，A)可觀測。
條件①中的A陣是系統廣義對象的狀態陣，B1陣是對應于第一個輸入的輸入陣，C1陣是對應于第一個輸出的輸出陣。條件①是保證提升變換范數等價的條件，該條件保證了廠義對象的第一個輸入對狀態的可控性，以及第一個輸出對系統狀態的可觀測性。條件②中的C2陣是對應于第2個輸出的輸出陣。文獻[1]中通過具體的例子分析了該條件不滿足時提升設計中出現的一些問題。
由于不滿足應用條件①和②，提升法不能用于靈敏度問題和魯棒穩定性問題。對于擾動抑制問題，常規的輸出加權函數設計不滿足條件①和②。
因為不能用常規加權函數的辦法來進行設計，這里可參照非線性H∞設計的做法，用權系數來進行設計，如圖1所示。
設圖1中對象的傳遞函數為
廣義對象G取為
表示性能的輸出現在是：
對象的輸出y=x2。式(9)和式(10)中的βy和βu為相應的權系數。
對采樣系統（圖1）的擾動抑制問題來說，采用權系數的H∞設計目標是設計反饋控制器使系統的L2增益小于或等于γ即：
若y=1，則式(ll)表明設計后加權（系數）輸出的能量有界，且小于擾動輸入w(t)的能量。
因為這是采樣系統，所以采用提升技術來進行設計。設計時先對廣義對象進行提升，得到一個等價的H∞離散化對象，再設計H∞控制器。本例中在y=1的約束下選取不同的權系數組合（βy，βu），現以其中的2組數據的設計結果為例來進行說明，見表l。
對象采用式(8)的連續模型，控制器則分別采用與表1對應的提升設計所得的離散控制器，用Simulink對系統進行混合仿真，可得階躍擾動作用下的輸出響應y(t)和對象的輸u(t)（仿真曲線略）。由輸出響應y(t)可以看到，權系數βu相差不太大，所以y的偏差就小。本例中權系數βu相差不太大，所以u(f)的曲線比較靠近。
設計時選用不同的權系數進行比較以確定一個****的設計，例如本例中宜選表1中序號為1的設計，因為這時y(t)的偏差小而u(t)又不是太大。
現在來分析這個設計中提升變換的范數等價問題。本例故意選用窄帶寬設計，所以即使是離散化設計，其結果與考慮連續信號的采樣系統應該是相接近的。例如，從輸出響應y(t)也可以看到，在過渡過程的2s時間內共有20個采樣(r=O l s)，所以即使換成離散化對象，其輸出y(k)構成的階梯形波形與采樣系統的y(t)應該是很接近的。因此這里用一（保持器）離散化對象P(z)來代替，與前面提升沒計的得到的離散控制器ki(z)構成一個離散系統，然后用常規的方法計算該離散系統的日。范數用以驗證提升計算所得的v值。
這2條幅頻特性都有很長一段平坦段，并略呈下降趨勢。事實上從H∞優化設計來說，設計結果足一條全通特性。當然因為僅用了H∞ 設計中的中心控制器，所以其奇異值特性（幅頻特性）到高頻段會有衰減，如圖2中的σmax曲線所示。當用權系數來設計時，加權的性能輸出是y和u線性（向量）相加，因此這全通特性分配到這2個分量也是平坦的。根據圖形特點可知，這離散系統的H∞范數對應于頻率特性在m =0時的值。由圖2可得
這個窄帶寬離散系統的H∞范數應該是與采樣系統的L2誘導范數相接近。事實上提升計算所得的y值就是0 997 7（精確到小數4位）（見表1）。
這個例子表明，當采用權系數時提升變換后的范數值γ等于原采樣系統的反映系統性能的L2.誘導范數。但利用權系數的設計足選取不同的權系數來進行衡量，在這種設計中y值只是一個中間參考值，并不能代表擾動抑制問題中的真正的性能指標，所以即使是采用H∞方法，也不是真正意義上的綜合。
4輸入端加權的擾動抑制問題
實際上，使用權函數來進行設計才是H∞設計的精髓，用以達到頻域成形的設計目的。對于擾動問題，如果按常規的加權設計思想，對輸出進行加權，是不滿足提升變換的應用條件的。所以這里提出將權函數放在輸入端。對輸入端加權的擾動抑制問題，完全滿足條件①和②，所以可以用提升法進行設計：
擾動抑制是指控制系統在對象輸入擾動w作用下的性能，對應的傳遞函數為
當用優化方法來設計時，是先對式(13)的傳遞函數進行加權，再求解下列的優化問題：
采樣系統，如圖3所示。
式(14)的γ則是指系統的L2誘導范數。不過加權（函數）設計的概念（與連續系統）都是一樣的。
權函數W1具有低通特性，例如在本例中取：
注意到W1的低頻段幅值為1，即：
所以根據式(14)求解所得的范數最小值v就是低頻段P（I+ KP）-1的幅值，也就是擾動抑制問題中的性能。H∞設計所起的作用是使y做到可能的最小值，即****性能。
用實線表示提升加權閉環系統的奇異值Bode圖其中，Pd為圖3
權函數形，如式(15)所示，則圖3所示系統的廣義對象為
5設計及仿真應用
圖3中對象P取為
利用Matiab函數clhfsvn求解得H∞控制器為
對應的閉環系統的范數值為
由此可得擾動抑制的穩態值為
如果將連續廣義對象G用保持器離散化得Gd2(z)，再將該Gd2 (Z)與式(18)中的控制器結合，所得閉環系統的H∞范數為γ=0. 001 3，與提升系統的H∞范數完全相等。
由此可以得出．當2個假設條件①，②同時滿足時，提升算法確實給出了采樣系統的真正的L，濤導范數。
由式(20)可以得出，此采樣控制系統真正的擾動抑制性能γ也等于式(19)的提升設計的范數值，從而進一步說明此時的H∞設計所得的系統得出的結果是正確的，并且反映了svnthesis所想要的性能。
取采樣周期T=0.1 s，對G(s)進行提升計算，得提升變換后的Gd為[式(7)]中連續對象的保持器離散化。閉環系統奇異值Bode圖，如圖4所示。
由圖4可知，H∞設計結果符合常規的設計的概念，且是可以校驗的。
階躍擾動式下的響應，如圖5所示。
實線為采樣系統在單位階躍擾動下的輸出響應z(t)，階梯形曲線（虛線）為常規離散設計結果。
可以看出，常規離散設計只能保證各離散時刻的值與實際值相一致，采樣時刻之間實際的響應z（t）曲線則與離散設計的結果有較大的出入，因此要反映采樣系統的真正性能，還需要用提升技術來解決。
6結語
提升變換不適用于常規加權函數的日。設計，只有加權系數的擾動問題和輸入端加權函數的擾動抑制問題滿足提升法的應用條件。但加權系數的擾動抑制問題得到的設計結果只是一個中間參考值，并不能代表擾動抑制問題中的真正的性能指標，也不是真正意義上的H∞綜合。
對輸入端加權函數的擾動抑制問題的設計結果表明，設計結果符合常規的H∞設計的概念，且是可以校驗的。進一步的應用仿真表明，提升設計確實優于傳統的離散設計，能夠反映采樣系統在采樣時刻之間的真實性能。由于很多工程實際問題，都是由計算機來實現對系統的控制，相應的系統都應該按采樣系統來進行設計，本文得出的結論為采樣系統的提升技術在實際工程中的應用提供一定的方法依據，起到了很好的指導作用。
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